\begin{split} \vert\vert\mathbf{u}+\mathbf{v}\vert\vert^2 &= \vert\vert\mathbf{u}\vert\vert\ + 2\;\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} +\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert\\\ &\leq \vert\vert\mathbf{u}\vert\vert\ + 2\;\vert\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\vert +\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert\\ &\leq \vert\vert\mathbf{u}\vert\vert\ + 2\;\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert\;\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert +\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert = (\vert\vert\mathbf{u}\vert\vert +\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert)^2 \;\;\mbox{Q.E.D.}\\ \end{split}